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Cálculo de la distancia Tierra-Sol a partir de mediciones tomadas en ocasión de un tránsito de Venus

Por la Dra. Carme Jordi i Nebot
2 de junio de 2004

1. Introducción

El objetivo de este documento es describir en qué se fundamenta el cálculo de la distancia Tierra-Sol a partir de la observación del tránsito de Venus por delante del disco solar. No se pretende describir el cálculo rigurosamente porque implica un nivel de conocimientos matemáticos que todavía no han adquirido la mayoría de los estudiantes y público en general. Las personas interesadas en el tratamiento riguroso y exacto pueden ilustrarse en la bibliografía propuesta al final del documento.

La determinación de la distancia Tierra-Sol se basa en el efecto de perspectiva por el cual, desde dos localizaciones diferentes, Venus se proyecta en lugares distintos sobre el disco solar. Se deben combinar, pues, forzosamente, observaciones desde lugares diferentes de la Tierra. Como se deduce fácilmente, el efecto de perspectiva será tanto más importante cuanto más separados están los dos lugares de observación y por tanto, se derivará una distancia tanto más precisa.

Las observaciones se han de complementar con las leyes de Kepler que describen las órbitas de los planetas alrededor del Sol y que Johannes Kepler dedujo a partir de numerosas observaciones del movimiento de los planetas. La ley de la gravitación universal, formulada por Isaac Newton, aplicada al caso de dos cuerpos en movimiento en torno a un centro de masas comÃºn explica las tres leyes empÃricas de Kepler.

En este documento se describe un método simplificado para el cálculo de la distancia Tierra-Sol. Para este método son necesarias observaciones simultáneas desde dos localizaciones diferentes y la cantidad que se mide es la distancia entre los centros de Venus sobre el disco del Sol vistos desde los dos lugares. Otro método para calcular la distancia Tierra-Sol se basa en la comparación de los tiempos que Venus invierte en cruzar el disco del Sol (es decir, en la duración del tránsito) haciendo observaciones desde dos lugares diferentes. El planteamiento matemático de ambos métodos tiene niveles semejantes de simplificación. El segundo método es más exigente (dificultoso) desde el punto de vista observacional y más complejo matemáticamente.

2. A partir de observaciones simultáneas desde lugares diferentes

Este método se basa en conocer la distancia entre los centros de Venus proyectados sobre el disco solar, en un instante de tiempo, vistos desde dos localizaciones diferentes. Para poder utilizar esta simplificación, pues, deben realizarse imperativamente observaciones simultáneas desde dos lugares diferentes de la Tierra (cuanto más separados mejor) y la manera más sencilla es tomar una fotografía en el mismo instante desde los dos lugares.

Desde dos localidades diferentes M₁ y M₂ (ver Figura 1) y en el mismo instante de tiempo t, Venus se proyecta en dos posiciones diferentes V₁ y V₂ sobre el disco solar por los efectos de la perspectiva. Es el mismo caso que se da cuando, situando un dedo extendido cerca de la cara, lo observamos guiñando, alternativamente, uno u otro ojo. Según con qué ojo miremos, veremos el dedo proyectado contra el fondo en un lugar o en otro. En el caso del tránsito de Venus, los dos observadores son el equivalente a los dos ojos, Venus es el equivalente al dedo y el Sol es el equivalente al fondo. Según desde dónde hagamos la observación, Venus se proyectará en un lugar u otro del disco solar.

La medida de la distancia entre V₁ y V₂, expresada en unidades de radios solares, permite determinar la distancia media Tierra-Sol, aunque no de una forma sencilla, a pesar de las simplificaciones que adoptaremos aquí.

Figura 1. Observación del tránsito de Venus por delante del disco del Sol desde dos localidades M₁ y M₂ diferentes en un mismo instante de tiempo.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher ( IMCCE )

Vamos a presentar la formulación matemática.

2.1 Determinación de la distancia en el momento de la observación

Supongamos que O sea el centro de la Tierra, C el centro del Sol y V₁ y V₂ los centros observados de la proyección de Venus visto desde M₁ y M₂, respectivamente. Los ángulos D₁ y D₂ serán las separaciones angulares entre los centros de Venus y el Sol vistas desde M₁ y M₂, respectivamente, es decir, los ángulos de paralaxis CM₁V₁ y CM₂V₂. Análogamente, podemos definir los ángulos π_s y π_v como las separaciones angulares entre M₁ y M₂ vistas desde el Sol y desde Venus, respectivamente, es decir, los ángulos M₁CM₂ y M₁VM₂.

Puesto que los cuatro puntos M₁, M₂, C y V no están en el mismo plano (el caso más común será no tener las dos localizaciones M₁ y M₂ sobre el mismo meridiano, ni la Tierra, Venus y el Sol perfectamente alineados), la geometría del problema se complica un poco. En la figura 2 se puede ver claramente. La distancia Δπ entre los dos centros de Venus es precisamente la única cantidad observable y, correspondiente a Δπ = π_v – π_s, permite calcular la distancia al Sol.

La realización práctica de la medida de Δπ a partir de las dos fotografías se puede hacer midiendo la posición del centro de Venus en cada fotografía en relación a un punto de referencia en el disco solar (una mancha, por ejemplo) y compararlo con la medida de este disco. Las medidas sobre las fotografías se realizan en unidades de longitud, en mm por ejemplo, y deberán transformarse a un ángulo que se pueda obtener sabiendo la medida del Sol.

Sean (x₁,y₁) y (x₂,y₂) las separaciones en mm entre el centro del disco de Venus y la mancha de referencia en las direcciones horizontal y vertical para cada una de las fotografías. Las separaciones en segundos de arco se obtienen multiplicando cada una de las cantidades x₁ e y₁ por el factor Ã'(segundos de arco)/Ã'₁(mm) y las cantidades x₂ e y₂ por Ã'(segundos de arco)/Ã'₂(mm) donde Ã'(segundos de arco) y Ã'(mm) son el diámetro del Sol expresado en segundos de arco y en mm, respectivamente. Ã'₁(mm) y Ã'₂(mm) tienen el mismo valor si la escala de las fotografías es la misma.

La distancia entre los centros de Venus en las dos fotografías será:

Δπ(segundos de arco) = [ (x₂ – x₁)²+ (y₂ – y₁)² ]^1/2 [1]

Si las dos fotografías se toman con dos telescopios que proporcionan la misma escala y el disco del Sol se sitúa exactamente en el mismo lugar de la fotografía, entonces se puede tomar como punto de referencia una esquina de la misma y no una mancha. Además, en este caso Ã'₁(mm) = Ã'₂(mm) y entonces la ecuación anterior se puede plantear como:

Δπ(segundos de arco) = [ (x₂ – x₁)²+ (y₂ – y₁)² ]^1/2Â·Ã'(segons d'arc)/Ã'(mm) [1bis]

Este es el supuesto adoptado de ahora en adelante.

Figura 2. Posiciones de las proyecciones de Venus sobre el disco del Sol.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher ( IMCCE )

Suponemos que r_V y r_T son las distancias entre el centro del Sol y los de Venus y la Tierra, respectivamente, en el momento t de la observación. Puesto que la proyección d de la distancia entre M₁ y M₂ en el plano perpendicular a OC es pequeña en comparación a las distancias Tierra-Sol y Tierra-Venus, podemos aproximar:

π_s = d/r_T
π_v = d/(r_T -r_V)

y de aquÃ se deduce que:

π_v = π_s r_T/(r_T -r_V)
Δπ = π_s (r_T/(r_T -r_V)-1) = π_s r_v/(r_T -r_V)

y por tanto,

π_s = d/r_T = Δπ (r_T/r_V - 1)

Esta última fórmula expresa claramente que, conocida la distancia angular Δπ entre los dos centros V₁ y V₂, y la relación r_T/r_V entre las distancias Tierra-Sol y Venus-Sol, se puede deducir la paralaxis π_s y que, conocida la distancia proyectada d entre las dos localizaciones, se puede deducir la distancia r_T. (En todas estas expresiones los valores de π_v, π_s y Δπ vienen dados en radianes. Para convertirlos a segundos de arco y hacerlos compatibles con la ecuación [1], sólo se necesita multiplicar por 64800 y dividir por el número π).

Δπ es la cantidad observable, d se puede determinar como se explica más abajo y por tanto, la única cantidad que falta para resolver el problema es la relación r_T/r_V entre las distancias Tierra-Sol y Venus-Sol.

Las órbitas de la Tierra y Venus en torno al Sol son ligeramente elípticas y por tanto, la relación de distancias r_T/r_V no se mantiene constante a lo largo del tiempo. Para saber esta relación en el instante t de observación es necesario remitirse a la primera ley de Kepler que dice que el Sol es uno de los focos de la elipse y que por tanto, la distancia entre el Sol y un planeta r_p(t) se obtiene como:

r_p(t)=R_p (1 - e_p cos E_p(t))

donde R_p es el semieje mayor de la órbita, e_p la excentricidad y E_p(t) la anomaía excéntrica en el instante t. Según esto:

r_T/r_v=[R_T (1 - e_T cos E_T)] / [R_V (1 - e_V cos E_V)]

La tercera ley de Kepler relaciona los semiejes mayores de las órbitas con los períodos de revolución P_p:

(R_T / R_V)³ = (P_T / P_V)²

de manera que

r_T/r_v=(P_T / P_V)^2/3 (1 - e_T cos E_T) / (1 - e_V cos E_V) [2]

Hasta aquí, pues, hemos sido capaces de determinar π_s y r_T que son la paralaxis y la distancia Tierra-Sol en el instante t de observación.

2.2 Determinación de la distancia media

Para determinar la distancia media Tierra-Sol (R_T) y la correspondiente paralaxis media π_o, que se relacionan mediante el radio ecuatorial terrestre R por:

π_o ≈≈ R/R_T

es necesario hacer alguna consideración adicional:

Si se expresa la proyección d de la distancia entre M₁ y M₂ en el plano normal a la dirección Tierra-Sol en unidades del radio ecuatorial terrestre, y la distancia Tierra-Sol en unidades de la distancia media, tendremos:

π_s = [(d/R) / (r_T /R_T)] (R/R_T) ≈ [(d/R) / (r_T /R_T)] π_o

El cociente r_T /R_T se puede deducir de la primera ley de Kepler como:

r_T/R_T = 1 - e_T cos E_T(t)

y por tanto, sólo nos falta calcular d/R (ver Figura 3). Figura 3. Proyección de la distancia entre M₁ y M₂ en el plano normal a la dirección Tierra-Sol.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher ( IMCCE )

Haciendo el producto vectorial entre los vectores M₁M₂ y OC, obtendremos el valor de sin θ, porque

M₁M₂ Ã— OC = |M₁M₂| r_T sin θ

En la figura 3 se puede ver que:

d = |M₁M₂| cos (90 – θ) = |M₁M₂| sin θ

y por tanto,

d = M₁M₂ Ã— OC / r_T

Ahora necesitamos calcular M₁M₂ Ã— OC.

Cálculo del vector OC

Este vector se puede expresar a partir de las coordenadas ecuatoriales del Sol (α,δ) en el instante de la observación como:

x=r_T cos δ cos α
y=r_T cos δ sin α
z=r_T sin δ

Cálculo del vector M₁M₂

La posición de cada observador se puede expresar como (ver figura 4):

x=R cos φ cos (λ+T_G)
y=R cos φ sin (λ+T_G)
z=R sin φ

siendo φ y λ las coordenadas geográficas (latitud y longitud) del observador y T_G=T_G(0) + 1.00273791 t. El tiempo t de la observación se ha de expresar en la escala de Tiempo Universal (TU). Para la mayoría de Europa TU = tiempo oficial – 2^h en junio. Figura 4. Posiciones de un astro (por ejemplo el Sol) y de un observador en la Tierra en coordenadas ecuatoriales.
Obtenida de una página a cargo de P. Rocher ( IMCCE )

Las coordenadas del vector M₁M₂ se pueden encontrar fácilmente como:

X=x₁ – x₂
Y=y₁ – y₂
Z=z₁ – z₂

Ejemplo práctico

Uno de los programas disponibles en http://serviastro.am.ub.es/venus2004/ está basado en esta formulación y se puede utilizar como ejemplo práctico. El segundo programa se basa en la comparación de la duración de los tránsitos vistos desde dos lugares diferentes.