More topic actionsEdit   Attach


Càlcul de la distància Terra-Sol a partir de mesures preses en ocasió d'un trànsit de Venus

Tornar

Per la Dra. Carme Jordi i Nebot
Departament d'Astronomia i Meteorologia de la Universitat de Barcelona
2 de juny de 2004

1. Introducció

L'objectiu d'aquest document és descriure en què es fonamenta el càlcul de la distància Terra-Sol a partir de l'observació del trànsit de Venus per davant del disc solar. No es pretén descriure el càlcul rigorós perquè implica un nivell de coneixement matemàtic que encara no han adquirit la majoria dels estudiants i públic en general. Les persones interessades en el tractament rigorós i exacte poden il·lustrar-se en la bibliografia al final del document.

La determinació de la distància Terra-Sol es basa en l'efecte de perspectiva pel qual des de dues localitzacions diferents Venus es projecta en llocs diferents sobre el disc solar. Cal forçosament, doncs, combinar observacions des de llocs diferents de la Terra. Com es dedueix fàcilment, l'efecte de perspectiva serà més important com més separats siguin els dos llocs d'observació i per tant, se'n derivarà una distància més precisa.

Les observacions s'han de complementar amb les lleis de Kepler que descriuen les òrbites dels planetes entorn del Sol i que Johannes Kepler va deduir a partir de nombroses observacions del moviment dels planetes. La llei de la gravitació universal, formulada per Isaac Newton, aplicada al cas de dos cossos en moviment entorn d'un centre de masses comú explica les tres lleis empíriques de Kepler.

En aquest document es descriu un mètode simplificat per al càlcul de la distància Terra-Sol. Per a aquest mètode calen observacions simultànies des de dues localitats diferents i la quantitat que es mesura és la distància entre els centres de Venus sobre el disc del Sol vistos des dels dos llocs. Un altre mètode per calcular la distància Terra-Sol es basa en la comparació dels temps que Venus triga en creuar el disc del Sol (és a dir la durada del trànsit) fent l'observació en dos llocs diferents. El plantejament matemàtic d'ambdós mètodes té semblants nivells de simplificació. El segon mètode és més exigent (dificultós) des del punt de vista observacional i més complex matemàticament.

2. A partir d'observacions simultànies des de llocs diferents

Aquest mètode es basa en conèixer la distància entre els centres de Venus, projectat sobre el disc solar, en un instant de temps vistos des de dues localitats diferents. Per poder utilitzar aquesta simplificació, doncs, cal imperativament que es realitzin observacions simultànies des de dos llocs diferents de la Terra (com més separats millor) i la manera més senzilla és prendre una fotografia en el mateix instant des dels dos llocs.

Des de dues localitats diferents M1 i M2 (vegeu Figura 1) i en el mateix instant de temps t, Venus es projecta en dues posicions diferents V1 i V2 en el disc solar pels efectes de perspectiva. És el mateix cas d'apropar-nos un dit a l'ull i fer l'ullet mirant el dit amb un ull o amb l'altre. Segons amb quin ull mirem, veurem el dit projectat contra el fons en un lloc o en un altre. En el cas del trànsit de Venus, els dos observadors són els equivalents als dos ulls, Venus és l'equivalent al dit, i el Sol és l'equivalent al fons. Segons des d'on fem l'observació, Venus es projectarà en un lloc o altre del disc solar.

La mesura de la distància entre V1 i V2, expressada en unitats de radis solars, permet de determinar la distància mitjana Terra-Sol, encara que no pas d'una forma gaire simple, tot i les simplificacions que adoptem aquí.

Projeccions de Venus sobre el Sol Figura 1. Observació del trànsit de Venus per davant del disc del Sol des de dues localitats M1 i M2 diferents en un mateix instant de temps.
Obtinguda d'una pàgina a càrrec de P. Rocher ( IMCCE )

Anem a presentar la formulació matemàtica.

2.1 Determinació de la distància en el moment de l'observació

Suposem que O sigui el centre de la Terra, C el centre del Sol i V1 i V2 els centres observats de la projecció de Venus vistos des de M1 i M2, respectivament. Els angles D1 i D2 seran la separació angular entre el centre de Venus i el centre del Sol vistos des de M1 i M2, respectivament, és a dir els angles de paral·laxi CM1V1 i CM2V2. Anàlogament, podem definir els angles πs i πv com la separació angular entre M1 i M2 vista des del Sol i des de Venus, respectivament, és a dir els angles M1CM2 i M1VM2.

Com que els quatre punts M1, M2, C i V no són al mateix pla (el cas més comú serà no tenir les dues localitats M1 i M2 al mateix meridià, ni la Terra, Venus i el Sol perfectament alineats), la geometria del problema es complica una mica. A la figura 2 es pot veure clarament. La distància Δπ entre els dos centres de Venus és precisament l'única quantitat observable i, corresponent a Δπ = πv – πs, permet de calcular la distància al Sol.

La realització pràctica de la mesura de Δπ a partir de les dues fotografies es pot fer mesurant la posició del centre de Venus en cada fotografia en relació a un punt de referència en el disc solar (una taca, per exemple) i comparar-ho amb la mida d'aquest disc. Les mesures sobre les fotografies es realitzen en unitats de longitud, en mm per exemple, i caldrà transformar-les a un angle que es pot obtenir sabent la mida del Sol.

Siguin (x1,y1) i (x2,y2) les separacions en mm entre el centre del disc de Venus i la taca de referència en les direccions horitzontal i vertical per a cadascuna de les fotografies. Les separacions en segons d'arc s'obtenen multiplicant cadascuna de les quantitats x1 i y1 pel factor Ã'(segons d'arc)/Ã'1(mm) i les quantitats x2 i y2 per Ã'(segons d'arc)/Ã'2(mm) on Ã'(segons d'arc) i Ã'(mm) són el diàmetre del Sol expressat en segons d'arc i en mm, respectivament. Ã'1(mm) i Ã'2(mm) tenen el mateix valor si l'escala de les fotografies és la mateixa.

La distància entre els centres de Venus a les dues fotografies serà :

Δπ(segons d'arc) = [ (x2 – x1)2+ (y2 – y1)2 ]1/2 [1]

Si les dues fotografies es prenen amb dos telescopis que proporcionen la mateixa escala i el disc del Sol es situa exactament al mateix lloc a la fotografia, llavors es pot prendre com a punt de referència una cantonada de la fotografia i no una taca. A més, en aquest cas Ã'1(mm) = Ã'2(mm) i llavors l'equació anterior es pot plantejar com:

Δπ(segons d'arc) = [ (x2 – x1)2+ (y2 – y1)2 ]1/2·Ã'(segons d'arc)/Ã'(mm) [1bis]

Aquest és el supòsit adoptat d'ara endavant.

posicions de les projeccions de Venus Figura 2. Posicions de les projeccions de Venus sobre el disc del Sol.
Obtinguda d'una pàgina a càrrec de P. Rocher ( IMCCE )

Suposem que rV i rT són les distàncies entre el centre del Sol i els de Venus i la Terra, respectivament, en el moment t de l'observació. Com que la projecció d de la distància entre M1 i M2 al pla perpendicular a OC és petita comparada amb les distàncies Terra-Sol i Terra-Venus, podem aproximar:

πs = d/rT
πv = d/(rT -rV)

i d'aquà­ es dedueix que:

πv = πs rT/(rT -rV)
Δπ = πs (rT/(rT -rV)-1) = πs rv/(rT -rV)

i per tant,

πs = d/rT = Δπ (rT/rV - 1)

Aquesta darrera fórmula expressa clarament que coneguda la distància angular Δπ entre els dos centres V1 i V2 i la relació rT/rV entre les distàncies Terra-Sol i Venus-Sol es pot deduir la paral·laxi πs i que, coneguda la distància projectada d entre les dues localitats, es pot deduir la distància rT. (En totes aquestes expressions els valors de πv, πs i Δπ venen donats en radiants. Per convertir-los a segons d'arc i fer-ho compatible amb l'equació [1], només cal multiplicar per 64800 i dividir pel número π).

Δπ és la quantitat observable, d es pot determinar com s'explica més avall i per tant, l'única quantitat que manca per resoldre el problema és la relació rT/rV entre les distàncies Terra-Sol i Venus-Sol.

Les órbites de la Terra i Venus entorn del Sol són lleugerament el·l­íptiques i per tant, la relació de distàncies rT/rV no es manté constant al llarg del temps. Per saber aquesta relació a l'instant t de l'observació cal remetre's a la primera llei de Kepler que diu que el Sol és en un dels focus de l’el·lipse i que per tant, la distà ncia entre el Sol i un planeta rp(t) s'obté com:

rp(t)=Rp (1 - ep cos Ep(t))

on Rp és el semieix major de l'órbita, ep l'excentricitat i Ep(t) l'anomalia excèntrica a l'instant t. Segons així:

rT/rv=[RT (1 - eT cos ET)] / [RV (1 - eV cos EV)]

La tercera llei de Kepler relaciona els semieixos majors de les órbites amb els períodes de revolució Pp:

(RT / RV)3 = (PT / PV)2

de manera que

rT/rv=(PT / PV)2/3 (1 - eT cos ET) / (1 - eV cos EV) [2]

Fins aquí­, doncs, hem estat capaços de determinar πs i rT que són la paral·laxi i la distància Terra-Sol a l'instant t de l'observació.

2.2 Determinació de la distància mitjana

Per determinar la distància mitjana Terra-Sol (RT) i la corresponent paral·laxi mitjana πo, que es relacionen mitjançant el radi equatorial terrestre R per:

πo ≈≈ R/RT

cal fer alguna altra consideració més.

Si s'expressa la projecció d de la distància entre M1 i M2 en el pla normal a la direcció Terra-Sol en unitats del radi equatorial terrestre, i la distància Terra-Sol en unitats de la distància mitjana, tindrem:

πs = [(d/R) / (rT /RT)] (R/RT) ≈ [(d/R) / (rT /RT)] πo

El quocient rT /RT es pot deduir de la primera llei de Kepler com:

rT/RT = 1 - eT cos ET(t)

i per tant, només ens manca calcular d/R (vegeu Figura 3).

Projeccions en el pla normal a la direcció Terra-Sol Figura 3. Projecció de la distància entre M1 i M2 en el pla normal a la direcció Terra-Sol.
Obtinguda d'una pàgina a càrrec de P. Rocher ( IMCCE )

Fent el producte vectorial entre els vectors M1M2 i OC, obtindrem el valor de sin θ, perquè

M1M2 × OC = |M1M2| rT sin θ

A la figura 3 es pot veure que:

d = |M1M2| cos (90 – θ) = |M1M2| sin θ

i per tant,

d = M1M2 × OC / rT

Ara ens cal calcular M1M2 × OC.

Càlcul del vector OC

Aquest vector es pot expressar a partir de les coordenades equatorials del Sol (α,δ) a l'instant de l'observació com:

x=rT cos δ cos α
y=rT cos δ sin α
z=rT sin δ

Càlcul del vector M1M2

La posició de cada observador es pot expressar com (vegeu figura 4):

x=R cos φ cos (λ+TG)
y=R cos φ sin (λ+TG)
z=R sin φ

essent φ i λ les coordenades geogràfiques (latitud i longitud) de l'observador i TG=TG(0) + 1.00273791 t. El temps t de l'observació s'ha d'expressar en l'escala de temps universal (TU). Per a la majoria d'Europa TU = temps oficial – 2h al juny.

Diagrama explicatiu de les coordenades equatorials Figura 4. Posicions d'un astre (per exemple el Sol) i d'un observador a la Terra en coordenades equatorials.
Obtinguda d'una pàgina a càrrec de P. Rocher ( IMCCE )

Les coordenades del vector M1M2 es poden trobar fàcilment com:

X=x1 – x2
Y=y1 – y2
Z=z1 – z2

Exemple pràctic

Un dels programes disponibles a la plana del trànsit de Venus 2004 està basat en aquesta formulació i es pot utilitzar com a exemple pràctic. El segon programa es basa en la comparació de la durada dels trànsits vistos des de dos llocs diferents.

3. Referències

Tornar a Monografies

 
This site is powered by the TWiki collaboration platform Powered by Perl